Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.

Рассмотрим механические колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса). Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна

М
Р
х
l
l ст
х
О
Решение Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза.

Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

О
Пусть l означает удлинение пружины в данный момент, а l ст —статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l = l ст +х, или l - l ст =х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F = ma , где m = P / g —масса груза а—ускорение движения и F —равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести. По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: F упр =-с l , где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины. Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P = с l ст . Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим l - l ст через х, получится уравнение в виде: или, обозначив с/ m через k 2 , (1) Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные.

Умножив и разделив на Если положить то (2) График гармонических колебаний имеет вид: Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент — фазой колебания.

Значение фазы при t = o т. e . величина , называется начальной фазой колебания.

Величина есть частота колебания.

Период колебания и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/ l ст = mg / l ст , то для периода можно получить также формулу: Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t : Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x = x 0 и скорость u = u 0 . Тогда , откуда , Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости ( u 0 =0) амплитуда А=х 0 , а начальная фаза a = p /2 и, таким образом, или Затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся.

Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.

Решение К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости u ). Т огда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид или если положить (3) Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: имеет корни (4) Характер движения целиком определяется этими корнями.

Возможны три различных случая.

Рассмотрим сначала случай, когда . Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить , то корни (4) имеют вид или, преобразовав, умножая и деля на положим, что тогда (5) График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид: Если заданы начальные условия: при t = 0, то можно определить А и a . Для этого находим и подставляем t = 0 в выражения для получим систему уравнений Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим откуда или а Так как то Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания.

Действии-тельно, амплитуда колебания зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем при . Период затухающих колебаний определяется по формуле Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным или . Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D . Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания.

Частота колебаний в этом случае меньше, нежели в предыдущем ( Если сопротивление среды велико и , то, положив , получим корни (4) в виде Так как (6) Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера.

Аналогичный характер будет иметь движение и в случае , когда общее решение имеет вид (7) Легко заметить, что в обоих последних случаях при имеем . Если заданы начальные условия и , то в случае, когда , имеем и и, следовательно В случае же, когда получаем и следовательно, Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.

Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой. Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна . На груз действует периодическая возмущающая сила где Q и р — постоянные.

Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.

Решение Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение Полагая, как и прежде, и, кроме того, перепишем уравнение в виде (8) Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому х. Если предположить, что то частное решение х, нужно искать в виде М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак, Производя вычисления, получаем откуда М=0 и Полученное таким образом частное решение (9) определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей силой k > p , либо отличаются на p , если k p , т. е. если N Закон движения представляется общим решением (10) Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2), обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и массой груза. Если заданы начальные условия: и , то можно определить произвольные постоянные А и u . Для этого продифференцируем функцию (10): и подставим в выражения х и значение аргумента t = 0; получим систему уравнений относительно A и a : Преобразуем её так: возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда Для нахождения a разделим обе части первого уравнения на соответствую-щие части второго; получим откуда при этом Итак, искомым частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция или Частное решение (9), характеризующее собственно вынужденные колебания, было получено в предположении, что (11) Частное решение следует искать в форме , где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак, откуда получаем Общее решение в этом случае (12) Найдем и подставим в выражения х и значение t =0; получим или Из последних двух равенств находим откуда Перепишем общее решение так: тогда искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, запишется в виде. Выражение (12) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний в этом случае может стать неограниченно большой даже тогда, когда q невелико. Иначе говоря, возможно получение сколь угодно больших амплитуд при малых возмущающих силах. Это явление называется резонансом. Таким образом, резонанс наступает тогда, когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний.

Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не является необходимым.

Выражение (9) для вынужденного колебания показывает, что при близости частот амплитуда может быть очень большой, хотя и ограниченной при фиксированных частотах k и р.

Возможностью создания колебаний с значительной амплитудой часто пользуются в различных усилителях, например в радиотехнике. С другой стороны, в большом числе случаев появление больших амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций (скажем, мостов или перекрытий). Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды.

Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи с учетом сопротивления среды, пропорционального скорости движения.

Решение Как и выше, имеем или положив (13) Однородным уравнением, соответствующим (13), является уравнение (3) с корнями характеристического уравнения (4). Предположим, что сопротивление среды невелико, т. е. . При этом общее решение однородного уравнения имеет вид (5): где . Это решение определяет свободные колебания, которые будут затухающими. Для отыскания вынужденных колебаний ищем частное решение в виде Имеем: Сравнивая коэффициенты, получаем систему Так как то и и мы находим частное решение Преобразуем выражение следующим образом: Обозначив (14) перепишем виде (15) Выражение (16) носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в предыдущей задаче, слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)] и собственно вынужденных колебаний (15): (17) Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие колебания, которые, особенно при большом Q периодического возмущения, так как . Она отличается от q множителем (18) характеризующим зависимость амплитуды вынужденного колебания от частоты возмущающей силы.

оценка легковых автомобилей в Белгороде
оценка рыночной стоимости товарного знака в Москве
независимая экспертиза ущерба в Калуге