Обработка результатов эксперимента

Значения эмпирической функции распределения выписаны в последней строке статистического ряда распределения частостей.

Запишем значения эмпирической функции распределения в аналитическом виде: 0, если x 18; 0,004, если 18 x 19; 0,04, если 19 x 20; 0,12, если 20 x 21; 0,284, если 21 x 22; F * ( x ) = 0,508, если 22 x 23; 0,748, если 23 x 24; 0,9, если 24 x 25; 0,964, если 25 x 26; 0,992, если 26 x 27; 1, если 27 x 28; 1, если x 28; График эмпирической функции изображен на рисунке 2. В тех случаях, когда наблюдаемые значения случайной величины задаются многозначными числами и объем выборки достаточно велик ( n > 25), вначале целесообразно найти среднюю арифметическую по формуле а за тем перейти к вычислению центральных моментов порядка k ( k = 2, 3, 4):

Интервалы наблюдаемых значений СВ Х, МПа	Середины интервалов x i	Частоты m i
[18;19)	18,5	1	-4,44	19,71	-87,53	388,63
[19;20)	19,5	9	-30,96	106,50	-366,37	1260,31
[20;21)	20,5	20	-48,80	119,07	-290,54	708,91
[21;22)	21,5	41	-59,04	85,02	-122,43	176,29
[22;23)	22,5	56	-24,64	10,84	-4,77	2,10
[23;24)	23,5	60	33,60	18,82	10,54	5,90
[24;25)	24,5	38	59,28	92,48	144,26	225,05
[25;26)	25,5	16	40,96	104,86	268,44	687,19
[26;27)	26,5	7	24,92	88,72	315,83	1124,34
[27;28]	27,5	2	9,12	41,59	189,64	864,75
Итого	250	0	687,61	57,07	5443,47

Поэтому, исходя из «технологии» образования СВ Х, т. е. механизма образования отклонений прочности от некоторого номинального значения, можно предположить, что распределение прочности бетона на сжатие является нормальным.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид Найдём точечные оценки параметров a и нормального распределения методом моментов: Следовательно, плотность вероятности предполагаемого нормального распределения имеет вид Функция распределения предполагаемого нормального распределения имеет вид Используя нормированную функцию Лапласа Проведем проверку гипотезы о нормальном распределении СВ Х (прочности бетона на сжатие) с помощью критерия согласия для этого интервалы наблюдаемых значений нормируют, т.е. выражают их в единицах среднего квадратического отклонения s : х i -1 ; х i ) по формуле где Например, вероятность того, что СВ Х (прочность бетона на сжатие) попадает в первый частичный интервал ( Аналогично и т. д. После этого вычисляют теоретические (модельные) частоты нормального распределения и наблюдаемое значение критерия Затем по таблицам квантилей распределения по уровню значимости q = 0,05 и числу степеней свободы ‚ k — число интервалов; r — число параметров предполагаемого распределения СВ Х) находят критическое значение Если В противном случае, т. е. если Вычисления, необходимые для определения наблюдаемого значения выборочной статистики приведем в таблице:

Интервалы наблюдаемых значений СВ Х, МПа	Частоты m i	Нормированные интервалы [u i , u i-1 ]	p i	np i
[18;19)	1	(- ;-2 , 39 )	0,008	2,00	1	0,05
[19;20)	9	[-2,39;-1,78)	0,029	7,25	3,06	0,42
[20;21)	20	[-1,78;-1,18)	0,081	20,25	0,06	0,00
[21;22)	41	[-1,18;-0,57)	0,168	42,00	1	0,02
[22;23)	56	[-0,57;0,04)	0,231	57,75	3,06	0,05
[23;24)	60	[0,04;0,64)	0,223	55,75	18,06	0,32
[24;25)	38	[0,64;1,25)	0,154	38,50	0,25	0,01
[25;26)	16	[1,25;1,85)	0,074	18,50	6,25	0,34
[26;27)	7	[1,85;2,46)	0,025	6,25	0,56	0,09
[27;28]	2	[2,46;+ )	0,007	1,75	0,06	0,03
	250		1.000	250,0

Наименьшее значение стандартизованной переменной заменено , наибольшее значение . Эта замена произведена для того, чтобы сумма теоретических (модельных) частот np i была равна объему выборки. В результате вычислений получили распределения по уровню значимости = 0,05 и числу степеней критическое значение Построим нормальную кривую. Для этого из середин частичных интервалов восстании перпендикуляры высотой p i / h ( p i — вероятность попадания СВ Х в частичный интервал; h — длина интервала). На рисунке 3 концы этих перпендикуляров отмечены кружками.